מודלים מתמטיים הם נשק להשמדה המונית

בשנת 2007, הערך הכולל של צורה אקזוטית של ביטוח פיננסי בשם Credit Default Swap (CDS) הגיע ל-67 טריליון דולר. מספר זה עלה על התוצר העולמי באותה שנה בכחמישה עשר אחוזים. במילים אחרות - מישהו בשווקים הפיננסיים עשה הימור גדול מהערך של כל מה שיוצר בעולם באותה שנה. 

על מה הימרו החבר'ה בוול סטריט? אם קופסאות מסוימות של פירוטכניקה פיננסית הנקראות חובות חוב בטחונות (CDOs) הולכים להתפוצץ. הימור על סכום גדול מהעולם דורש מידה משמעותית של ודאות מצד ספק הביטוח. 

במה נתמכה הוודאות הזו? 

נוסחת קסם בשם דגם גאוס קופולה. קופסאות ה-CDO הכילו משכנתאות של מיליוני אמריקאים, והמודל בעל השם המצחיק העריך את ההסתברות המשותפת לכך שמחזיקי כל שתי משכנתאות שנבחרו באקראי יעמדו ברירת המחדל של המשכנתא. 

המרכיב המרכזי בנוסחת הקסם הזו היה מקדם גמא, שהשתמש בנתונים היסטוריים כדי להעריך את המתאם בין שיעורי פירעון משכנתאות בחלקים שונים של ארצות הברית. המתאם הזה היה קטן למדי במשך רוב המאה ה-20 מכיוון שלא הייתה סיבה מועטה מדוע משכנתאות בפלורידה יהיו קשורות איכשהו למשכנתאות בקליפורניה או בוושינגטון.

אבל בקיץ 2006, מחירי הנדל"ן ברחבי ארצות הברית החלו לרדת, ומיליוני אנשים מצאו את עצמם חייבים יותר עבור בתיהם ממה שהם שווים כעת. במצב זה, אמריקאים רבים החליטו באופן רציונלי לפרוע את המשכנתא שלהם. לכן, מספר המשכנתאות בפיגור גדל באופן דרמטי, בבת אחת, ברחבי הארץ. 

מקדם הגמא בנוסחת הקסם קפץ מערכים זניחים לכיוון אחד ותיבות ה-CDO התפוצצו בבת אחת. אנשי הכספים - שהימרו על התמ"ג של כדור הארץ כולו על כך שזה לא יקרה - כולם הפסידו.

כל ההימור הזה, שבו כמה ספקולנטים הפסידו את כדור הארץ כולו, התבסס על מודל מתמטי שמשתמשיו טעו במציאות. ההפסדים הכספיים שהם גרמו לא היו ניתנים לתשלום, ולכן האפשרות היחידה הייתה שהמדינה תשלם עבורם. כמובן, גם למדינות לא היה בדיוק תוצר עולמי נוסף, אז הן עשו מה שהן עושות בדרך כלל – הן הוסיפו את החובות הבלתי ניתנים לפירעון לרשימה הארוכה של חובות שלא ניתנו לפירעון שעשו קודם לכן. נוסחה אחת, שיש לה בקושי 40 תווים בקוד ASCII, הגדילה באופן דרמטי את סך החוב של העולם ה"מפותח" בעשרות אחוזים מהתמ"ג. זו כנראה הייתה הנוסחה היקרה ביותר בהיסטוריה של האנושות.

לאחר הפיאסקו הזה, אפשר היה להניח שאנשים יתחילו לשים לב יותר לתחזיות של מודלים מתמטיים שונים. למעשה, קרה ההפך. בסתיו 2019, וירוס החל להתפשט מווהאן, סין, שזכה לשם SARS-CoV-2 על שם אחיו הגדולים. האחים הגדולים שלו היו די מגעילים, אז בתחילת 2020, כל העולם נכנס לפאניקה.

אם שיעור התמותה של הנגיף החדש היה דומה לאחיו המבוגרים, הציוויליזציה עלולה באמת להתמוטט. ובדיוק ברגע זה, רבים דמויות אקדמיות מפוקפקות הופיעו ברחבי העולם עם המודלים המתמטיים של חיית המחמד שלהם והחלו לפלוט תחזיות פרועות למרחב הציבורי. 

עיתונאים עברו על התחזיות, בחרו ללא טעות רק את האפוקליפטיות ביותר, והחלו לדקלם אותן בקול דרמטי בפני פוליטיקאים מבולבלים. ב"מאבק נגד הנגיף" שלאחר מכן, כל דיון ביקורתי על טיבם של מודלים מתמטיים, הנחותיהם, תיקוףם, הסיכון של התאמת יתר, ובעיקר כימות אי הוודאות, אבדו לחלוטין.

רוב המודלים המתמטיים שעלו מהאקדמיה היו גרסאות מורכבות פחות או יותר של משחק נאיבי שנקרא אדוני. שלוש האותיות הללו מייצגות Susceptible–Infected–Recovered ומגיעות מתחילת המאה ה-20, כאשר, הודות להיעדר מחשבים, ניתן היה לפתור רק את משוואות הדיפרנציאל הפשוטות ביותר. דגמי SIR מתייחסים לאנשים כאל כדורים צבעוניים שצפים במיכל מעורב היטב ונתקלים זה בזה. 

כאשר כדורים אדומים (נגועים) וירוקים (רגישים) מתנגשים, נוצרים שני אדומים. כל אדום (נגוע) הופך שחור (מתאושש) לאחר זמן מה ומפסיק להבחין באחרים. וזה הכל. המודל אפילו לא תופס מקום בשום צורה - אין ערים ולא כפרים. המודל הנאיבי לחלוטין הזה מייצר תמיד (לכל היותר) גל אחד של הדבקה, ששוכך עם הזמן ונעלם לנצח.

ובדיוק ברגע זה, קברניטי תגובת הקורונה עשו את אותה טעות כמו הבנקאים לפני חמש עשרה שנה: הם טעו במודל במציאות. ה"מומחים" הסתכלו על המודל שהראה גל יחיד של זיהומים, אבל במציאות, גל אחד בא אחריו. במקום להסיק את המסקנה הנכונה מהפער הזה בין מודל למציאות - שהמודלים האלה חסרי תועלת - הם התחילו לפנטז שהמציאות חורגת מהמודלים בגלל "השפעות ההתערבויות" שבאמצעותן הם "ניהלו" את המגיפה. דיברו על "הרפיה מוקדמת" של המידות ושאר מושגים תיאולוגיים בעיקר. מובן, היו הרבה אופורטוניסטים באקדמיה שמיהרו איתם קדימה מאמרים מפוברקים על השפעת ההתערבויות.

בינתיים, הנגיף עשה את שלו, והתעלם מהמודלים המתמטיים. מעטים שמו לב, אבל במהלך כל המגיפה, אף מודל מתמטי אחד לא הצליח לחזות (לפחות בערך) את שיא הגל הנוכחי או את תחילת הגל הבא. 

בניגוד ל-Gaussian Copula Models, שחוץ מזה שיש להם שם מצחיק - עבדו לפחות כשמחירי הנדל"ן עלו, לדוגמניות SIR לא היה קשר למציאות מההתחלה. מאוחר יותר, חלק מהמחברים שלהם התחילו להתאים את המודלים כך שיתאימו לנתונים היסטוריים, ובכך בלבלו לחלוטין את הציבור הלא מתמטי, שבדרך כלל אינו מבחין בין מודל המותאם לאחר מכן (שם נתונים היסטוריים אמיתיים מותאמים יפה על ידי התאמת פרמטרי המודל ) ותחזית אמיתית מראש לעתיד. כפי שיוגי ברה היה אומר: קשה לעשות תחזיות, במיוחד לגבי העתיד.

בעוד בתקופת המשבר הפיננסי, שימוש לרעה במודלים מתמטיים הביא בעיקר נזק כלכלי, בתקופת המגיפה זה כבר לא היה רק ​​כסף. בהתבסס על מודלים חסרי הגיון, ננקטו כל מיני "אמצעים" שפגעו בבריאותם הנפשית או הפיזית של רבים.

אף על פי כן, לאובדן כושר השיפוט הגלובלי הזה הייתה השפעה חיובית אחת: המודעות לנזק הפוטנציאלי של מודלים מתמטיים התפשטה מכמה משרדים אקדמיים למעגלים ציבוריים רחבים. בעוד שלפני כמה שנים המושג "מודל מתמטי" היה אפוף יראת כבוד דתית, לאחר שלוש שנים של מגיפה, אמון הציבור ביכולתם של "מומחים" לחזות כל דבר הגיע לאפס. 

יתרה מכך, לא רק המודלים נכשלו – גם חלק גדול מהקהילה האקדמית והמדעית נכשלו. במקום לקדם גישה זהירה וספקנית המבוססת על ראיות, הם הפכו למעודדים לטיפשות רבים שקובעי המדיניות התייצבו איתם. אובדן אמון הציבור במדע, ברפואה ובנציגיו העכשוויים יהיה כנראה התוצאה המשמעותית ביותר של המגיפה.

מה שמביא אותנו למודלים מתמטיים אחרים, שהשלכותיהם יכולות להיות הרבה יותר הרסניות מכל מה שתיארנו עד כה. אלו כמובן מודלים אקלימיים. ניתן לחלק את הדיון ב"שינוי האקלים הגלובלי" לשלושה חלקים.

1. האבולוציה האמיתית של הטמפרטורה על הפלנטה שלנו. בעשורים האחרונים היו לנו מדידות ישירות מדויקות ויציבות למדי ממקומות רבים על פני כדור הארץ. ככל שנלך אל העבר, כך עלינו להסתמך על שיטות שונות של שחזור טמפרטורה, ואי הוודאות גוברת. יתכנו גם ספקות באשר מה הטמפרטורה היא למעשה נושא הדיון: הטמפרטורה משתנה כל הזמן במרחב ובזמן, וחשוב מאוד כיצד המדידות האישיות משולבות לערך "עולמי" כלשהו. בהתחשב בעובדה ש"טמפרטורה עולמית" - ככל שתוגדר - היא ביטוי של מערכת דינמית מורכבת שרחוקה משיווי משקל תרמודינמי, די בלתי אפשרי שהיא תהיה קבועה. אז, יש רק שתי אפשרויות: בכל רגע מאז היווצרות כדור הארץ, "הטמפרטורה הגלובלית" עלתה או ירדה. יש הסכמה כללית כי חלה התחממות כללית במהלך המאה ה-20, אם כי ההבדלים הגיאוגרפיים גדולים משמעותית ממה שמכירים בדרך כלל. דיון מפורט יותר בנקודה זו אינו הנושא של חיבור זה, מכיוון שהוא אינו קשור ישירות למודלים מתמטיים.

2. ההשערה שהעלייה בריכוז ה-CO2 גורמת לעלייה בטמפרטורה הגלובלית. זוהי השערה מדעית לגיטימית; עם זאת, ראיות להשערה כרוכות במודלים מתמטיים יותר ממה שאתה עשוי לחשוב. לפיכך, נתייחס לנקודה זו ביתר פירוט להלן.

3. הרציונליות של ה"אמצעים" השונים שמציעים פוליטיקאים ופעילים כדי למנוע שינויי אקלים עולמיים או לפחות למתן את השפעותיו. שוב, נקודה זו אינה המוקד של מאמר זה, אך חשוב לציין שלרבים מה"אמצעים" לשינוי האקלים המוצעים (ולפעמים כבר מיושמים) יהיו השלכות דרמטיות בסדרי גודל יותר מכל מה שעשינו במהלך מגיפת קוביד . אז, עם זה בחשבון, בואו נראה כמה מודלים מתמטיים אנחנו צריכים כדי לתמוך בהשערה 2.

במבט ראשון, אין צורך במודלים מכיוון שהמנגנון שבו CO2 מחמם את כדור הארץ הובן היטב מאז ג'וזף פורייה, שתיאר אותו לראשונה. בספרי הלימוד בבית הספר היסודי, אנו מציירים ציור של חממה עם השמש מחייכת עליה. קרינה קצרת גל מהשמש עוברת דרך הזכוכית, מחממת את פנים החממה, אך קרינה של גלים ארוכים (שנפלטת מחלקה הפנימי המחומם של החממה) אינה יכולה לברוח דרך הזכוכית, ובכך שומרת על חום החממה. פחמן דו חמצני, ילדים יקרים, ממלא תפקיד דומה באטמוספירה שלנו כמו הזכוכית בחממה.

ה"הסבר" הזה, שעל שמו נקרא אפקט החממה כולו, ואותו אנו מכנים "אפקט החממה לגן ילדים", סובל מבעיה קטנה: הוא שגוי לחלוטין. החממה שומרת על חום מסיבה אחרת לגמרי. מעטפת הזכוכית מונעת הסעה - אוויר חם לא יכול לעלות ולהוביל את החום. עובדה זו אומתה בניסוי כבר בתחילת המאה ה-20 על ידי בניית חממה זהה אך מחומר שקוף לקרינת אינפרא אדום. ההבדל בטמפרטורות בתוך שתי החממות היה זניח.

אוקיי, חממות אינן חמות בגלל אפקט החממה (כדי לפייס בודקי עובדות שונים, עובדה זו יכולה להיות נמצא בויקיפדיה). אבל זה לא אומר שפחמן דו חמצני אינו סופג קרינת אינפרא אדום ואינו מתנהג באטמוספירה כפי שדמיינו שזכוכית בחממה מתנהגת. פחמן דו חמצני בעצם אכן סופג קרינה במספר פסי אורכי גל. גם לאדי מים, מתאן וגזים אחרים יש תכונה זו. אפקט החממה (שנקרא בטעות על שם החממה) הוא עובדה ניסויית שהוכחה בבטחה, וללא גזי חממה, כדור הארץ יהיה קר הרבה יותר.

מכאן נובע באופן הגיוני שכאשר ריכוז ה-CO2 באטמוספירה יגדל, מולקולות ה-CO2 ילכדו עוד יותר פוטונים אינפרא אדום, ולכן לא יוכלו לברוח לחלל, וטמפרטורת הפלנטה תעלה עוד יותר. רוב האנשים מרוצים מההסבר הזה וממשיכים לשקול את ההשערה מנקודה 2 לעיל כפי שהוכחה. אנו קוראים לגרסה זו של הסיפור "אפקט החממה לפקולטות פילוסופיות". 

הבעיה היא, כמובן, שיש כל כך הרבה פחמן דו חמצני (וגזי חממה אחרים) באטמוספירה כבר, שלאף פוטון עם התדר המתאים אין סיכוי לברוח מהאטמוספירה מבלי להיספג ולהיפלט מחדש פעמים רבות על ידי כמה מולקולת גז חממה. 

עלייה מסוימת בספיגת קרינת אינפרא אדום הנגרמת על ידי ריכוז גבוה יותר של CO2 יכולה להתרחש רק בקצוות של פסי הקליטה המתואמים. עם הידע הזה - שכמובן אינו נפוץ במיוחד בקרב פוליטיקאים ועיתונאים - כבר לא ברור מדוע עלייה בריכוז ה-CO2 צריכה להוביל לעלייה בטמפרטורה.

אולם במציאות המצב מורכב עוד יותר, ולכן יש צורך להמציא גרסה נוספת של ההסבר, שאנו מכנים "אפקט החממה לפקולטות למדעים". גרסה זו למבוגרים נכתבת כך: תהליך הקליטה והפליטה מחדש של פוטונים מתרחש בכל שכבות האטמוספרה, ואטומי גזי החממה "מעבירים" פוטונים מאחד לשני עד שלבסוף אחד מהפוטונים הנפלטים אי שם ב השכבה העליונה של האטמוספירה עפה לחלל. ריכוז גזי החממה יורד באופן טבעי עם העלייה בגובה. לכן, כאשר אנו מוסיפים מעט CO2, הגובה שממנו כבר יכולים פוטונים לברוח לחלל משתנה מעט יותר. ומכיוון שככל שאנו עולים יותר, כך קר יותר, הפוטונים הנפלטים שם נושאים פחות אנרגיה, וכתוצאה מכך נשארת יותר אנרגיה באטמוספירה, מה שהופך את כדור הארץ לחמם יותר.

שימו לב שהגרסה המקורית עם השמש המחייכת מעל החממה נעשתה קצת יותר מסובכת. יש אנשים שמתחילים לגרד בראשם בשלב זה ותוהים אם ההסבר לעיל באמת כל כך ברור. כאשר ריכוז ה-CO2 עולה, אולי פוטונים "קרירים" יותר בורחים לחלל (מכיוון שמקום פליטתם נע גבוה יותר), אך האם לא יברחו יותר מהם (כי הרדיוס גדל)? האם לא צריכה להיות יותר התחממות באטמוספירה העליונה? האם היפוך הטמפרטורה לא חשוב בהסבר הזה? אנו יודעים שהטמפרטורה מתחילה לעלות שוב מכ-12 קילומטרים למעלה. האם באמת אפשר להזניח את כל הסעה ומשקעים בהסבר הזה? אנו יודעים שתהליכים אלו מעבירים כמויות אדירות של חום. מה לגבי פידבקים חיוביים ושליליים? וכן הלאה וכן הלאה.

ככל שתשאלו יותר, כך תגלו שהתשובות אינן ניתנות לצפייה ישירה אלא מסתמכות על מודלים מתמטיים. המודלים מכילים מספר פרמטרים שנמדדו באופן ניסיוני (כלומר, בשגיאה מסוימת); למשל, ספקטרום ספיגת האור ב-CO2 (ובכל שאר גזי החממה), התלות שלו בריכוז, או פרופיל טמפרטורה מפורט של האטמוספרה. 

זה מוביל אותנו לאמירה רדיקלית: ההשערה שלפיה עלייה בריכוז הפחמן הדו חמצני באטמוספרה מובילה לעלייה בטמפרטורה הגלובלית אינה נתמכת בשום נימוק פיזיקלי שניתן להסביר בקלות ובאופן מובן שיהיה ברור לאדם בעל השכלה אוניברסיטאית רגילה בתחום טכני או מדעי הטבע. . השערה זו נתמכת בסופו של דבר על ידי מודל מתמטי שלוכד פחות או יותר במדויק כמה מהתהליכים המסובכים הרבים באטמוספרה.

עם זאת, זה מטיל אור שונה לחלוטין על כל הבעיה. בהקשר של הכישלונות הדרמטיים של מודלים מתמטיים בעבר הקרוב, "אפקט החממה" ראוי להרבה יותר תשומת לב. שמענו את הטענה ש"המדע מיושב" פעמים רבות במהלך משבר קוביד ותחזיות רבות שהתבררו מאוחר יותר כאבסורדיות לחלוטין התבססו על "קונצנזוס מדעי". 

כמעט כל תגלית מדעית חשובה התחילה כקול בודד שנוגד את הקונצנזוס המדעי של אותה תקופה. קונצנזוס במדע אינו אומר הרבה - המדע בנוי על זיוף זהיר של השערות תוך שימוש בניסויים שנערכו כהלכה ובנתונים מוערכים כראוי. מספר מקרי העבר של קונצנזוס מדעי שווה בעצם למספר הטעויות המדעיות בעבר.

דוגמנות מתמטית היא משרת טוב אבל אדון רע. ההשערה של שינויי אקלים עולמיים הנגרמים כתוצאה מריכוז הגובר של CO2 באטמוספרה היא בהחלט מעניינת ומתקבלת על הדעת. עם זאת, זו בהחלט לא עובדה ניסיונית, והכי לא ראוי לצנזר דיון מקצועי פתוח וישר בנושא זה. אם יתברר שמודלים מתמטיים היו - שוב - שגויים, ייתכן שיהיה מאוחר מדי לבטל את הנזק שנגרם בשם "המאבק" בשינויי האקלים.